EJEMPLO F. EXPONENCIAL

En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Definición. 

Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en . 

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 
 
 

 Teorema (Leyes de los Exponentes) 

Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  . 

6 . 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  . 

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

 . 

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

 

. 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que 

 . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 

 Gráfica de la Función Exponencial 

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. 

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,  crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

Observación. 

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial  ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =  .
 

 Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones  y  que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas. 

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan. 

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define: 

 ,  

La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define: 

 ,  

A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera: 

 

 

 

Ejemplo 1:
Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?
2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Solución:

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:
   
   $f$ x = 50 × 3 x2
2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?Usando la fórmula para x = 4, la población será:
   
   $$f$$ 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450
   Después de 4 años habrá 450 aves.
3. ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:
   
   $$f$$ x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4
   La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.
   
   
   
   
   Ejemplo 2:
   Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.
   
   1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?
   2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
   3. ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?
   Solución:
   
   
   1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:
      
      $f$ x = 50 × 13 x 5
   2. ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?Usando la fórmula para x = 3:
      
      $$f$$ 3 = 50 × 13 3 5 = 50 × 13 0.6 ≈ 25.86
      Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.
   3. ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :
      
      $$f$$ x = 50 × 13 x 5 1 = 50 × 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln ( 150 ) = x 5 ln ( 13 ) 5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x ≈ 17.8
      Después de aproximadamente 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.